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| View Original: | Mandelbrot-Iterate-09.jpg (400x350) | |||
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| Keywords: Mandelbrot-Iterate-09.jpg The diagram shows the part of the complex plane ranging from “2 2 to 1 on the real axis horizontal and from “1 4i to 1 4i on the imaginary axis vertical The color for a point <math>c</math> in the plane is the color coded value of the function <math>f \ n _c 0 \quad\text for n 9\quad\text and f_c z z 2+c</math> Note that the exponent refers to <math>f</math> as a function and not to its value i e <math>f</math> <math> n</math> denotes n-fold applying <math>f</math> <math>f \ n f\circ f\circ \cdots \circ f</math> So <math>f</math> <math> n</math> is an element of the sequence <math>\begin align f_c \ 0 \ \; z \mapsto z\\ f_c \ 1 \ \; z \mapsto z 2+c\\ f_c \ 2 \ \; z \mapsto z 2+c 2+c\\ f_c \ 3 \ \; z \mapsto z 2+c 2+c 2+c\\ \;\;\vdots \end align </math> For <math>n>0</math> the function <math>f_c n 0 </math> is a polynomial of degree <math>2 n-1 </math> in <math>c</math> Therefore it has <math>2 n-1 </math> zeros in the complex plane It turns out that all zeros are distinct Moreover the zeros are located in a disc around the origin whose diamater does not depend on <math>n</math> Das Diagramm zeigt einen Teil der komplexen Zahlen mit Realteil zwischen “2 2 to 1 horizontal und Imaginärteil zwischen “1 4i und 1 4i vertikal Die Farbe eines Punktes <math>c</math> der Ebene ist der farbcodierte Wert der Funktion <math>f \ n _c 0 \quad\text mit n 9\quad\text und f_c z z 2+c</math> Hierbei bezieht sich der Exponent auf <math>f</math> als Funktion und nicht auf deren Funktionswert d h <math>f</math> <math> n</math> steht fĂĽr die n-fache HintereinanderausfĂĽhrung von <math>f</math> <math>f \ n f\circ f\circ \cdots \circ f</math> Es ist <math>f</math> <math> n</math> also ein Glied der Folge <math>\begin align f_c \ 0 \ \; z \mapsto z\\ f_c \ 1 \ \; z \mapsto z 2+c\\ f_c \ 2 \ \; z \mapsto z 2+c 2+c\\ f_c \ 3 \ \; z \mapsto z 2+c 2+c 2+c\\ \;\;\vdots \end align </math> FĂĽr <math>n>0</math> ist die Funktion <math>f_c n 0 </math> ein Polynom vom Grade <math>2 n-1 </math> in <math>c</math> Somit hat die Funktion <math>2 n-1 </math> Nullstellen die alle verschieden sind Zudem liegen alle Nullstellen in einem Kreis dessen Größe unabhängig von <math>n</math> ist Self made using a throw-away C program 2008-03-24 Georg-Johann Lay Images of the sequence for n 1 20 0 cellpadding 1 cellspacing 1 - 110px thumb left 1 color map 110px thumb left 2 110px thumb left 3 110px thumb left 4 110px thumb left 5 - 110px thumb left 6 110px thumb left 7 110px thumb left 8 110px thumb left 9 110px thumb left 10 - 110px thumb left 11 110px thumb left 12 110px thumb left 13 110px thumb left 14 110px thumb left 15 - 110px thumb left 16 110px thumb left 17 110px thumb left 18 110px thumb left 19 110px thumb left 20 From step to step the number of zeros white is doubling The zeros are chaotically scattered around in a disc whose diameter does not depend on <math>n</math> For values of <math>c</math> that belong the the Mandelbrot set <math>M</math> the sequence <math>f 1_c 0 \; f 2_c 0 \; f 3_c 0 \ \ldots </math> is bounded For values not in <math>M</math> the sequence tends to infinity black Values of <math>c</math> located in the body of <math>M</math> ” the big cardioid ” lead to sequences that converge to a definite complex number In other words these values converge to a cycle of period 1 Values in the head of <math>M</math> ” the big circle at the left of the body ” tend to periodoc cycles of period 2 This can be seen in the sequence of images because the head changes its color from bright to dark and vice versa from step to step Values located in the small bulbs ” the hands symetrically arranged to the body ” tend to periodic cycles of period 3 and so on Von Schritt zu Schritt verdoppelt sich die Anzahl der Nullstellen weiĂź Die Nullstellen sind chaotisch verstreut in einem begrenzten Gebiet dessen Größe nicht von <math>n</math> abhängt FĂĽr Werte <math>c</math> in der Mandelbrot-Mengem <math>M</math> sind die Folgen <math>f 1_c 0 \; f 2_c 0 \; f 3_c 0 \ \ldots </math> beschränkt FĂĽr Werte ausserhalb von <math>M</math> streben die Folgen gegen Unendlich schwarz Werte im Körper von<math>M</math> ” dem Zykloid ” fĂĽhren zu konvergenten Folgen Mit anderen Worten die zugehörigen Folgewerte konvergieren gegen periodische Zykel der Länge 1 Werte im Kopf von <math>M</math> ” dem groĂźen Kreis links am Körper ” streben gegen periodische Zykel der Länge 2 Dies sieht man daran daĂź der Kopf mit jeden Bild seine Farbe von hell nach dunkel wechselt Werte in den Ă„rmchen ” den grösseren Kreisen links und rechts des Körpers ” fĂĽhren zu Folgen deren Grenzzyklen Periode 3 hat usw Coloring complex numbers To color a complex value the function described in <ref>Visualising complex functions</ref> is used with the parameters <math>\begin align a_s 0 6 \ b_s 0 5 \\ a_v 0 4 \ b_v 0 3 \\ \end align </math> and with S and V interchanged Zeros turn to white and infinity to black Zum Färben komplexer Zahlen verwende ich die Methode wie beschrieben in<sup>1</sup> mit den Parametern <math>\begin align a_s 0 6 \ b_s 0 5 \\ a_v 0 4 \ b_v 0 3 \\ \end align </math> und mit vertauschten Rollen von S und V Die Null wird zu WeiĂź und Unendlich zu Schwarz References <references/> Complex color plots of Mandelbrot iterations Order 9 | ||||
